* 運動学 [#ffc858c8]

** ローレンツ不変な重心系でのエネルギー [#g7981c0d]

*** 二粒子の衝突 [#m819b115]

二つの粒子が衝突する系を考える。
粒子1,と粒子2に対して、ローレンツ不変なCM系での全エネルギーは、

> &math2(E_{CM}  =  \sqrt{(E_{1}+E_{2})^{2} -({\bm p}_{1}+{\bm p}_{2})^{2}});

と書ける。ここで、

> &math2({E_{1}}^{2} = {m_{1}}^{2} + {{\bm p}_{1}}^{2});

> &math2({E_{2}}^{2} = {m_{2}}^{2} + {{\bm p}_{2}}^{2});

&math2(E_{CM}); を書き下すと、

> &math2(E_{CM}  =  \sqrt{ {E_{1}}^{2} + {E_{2}}^{2} + 2 E_{1} E_{2} - ( {{\bm p}_{1}}^{2} + {{\bm p}_{2}}^{2} + {\bm p}_{1}\cdot {\bm p}_{2} ) });




&math2({\bm p}_{1}); と &math2({\bm p}_{2}); のなす角をθとすると、

> &math2(E_{CM}  =  \sqrt{ {E_{1}}^{2} - {{\bm p}_{1}}^{2}  + {E_{2}}^{2} - {{\bm p}_{2}}^{2} + 2 E_{1} E_{2} - |{\bm p}_{1}| |{\bm p}_{2}| \cos\theta  });


さらに、&math2(|{\bm p}_{1}|/E_{1} \equiv \beta_{1}); 、そして &math2(|{\bm p}_{2}|/E_{2} \equiv \beta_{2}); と定義すると。

> &math2(E_{CM}  =  \sqrt{ {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2} + 2 E_{1} E_{2} ( 1 - \beta_{1} \beta_{2} \cos\theta)});

*** 固定標的にビームを当てる場合 [#d4ac9072]

粒子2が制止している系(Lab系)を考える。この場合 &math2({\bm p}_{2} = \beta_{2} = 0); なので、

> &math2(E_{CM} = \sqrt{ {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2} + 2 E_{1} m_{2}});

> &math2(E_{CM} = \sqrt{ {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2} + 2 m_{2} \sqrt{{m_{1}}^2 + {{\bm p}_{1}}^{2}} });

**** 例1: 核子同士の衝突 [#h9ec0d03]

CERN SPS での NA44実験では、核子辺りのビーム運動量が、450GeV/c の陽子(p)、200 GeV/c の硫黄(S)、158 GeV/c の鉛(Pb)のビームを用いた。
これらのCM系での全エネルギーを考える。
今簡単のために、核子の質量を陽子と中性子の平均( (0.9383 + 0.9396)/2. = 0.939 GeV/c )とし、mSUB{N};と書く。
核子辺りのビーム運動量を pSUB{beam}; と書くと

>  &math2(E_{CM} = \sqrt{ 2 {m_{N}}^{2} + 2 m_{N} \sqrt{{m_{N}}^2 + {p_{beam}}^{2}} });

となり。

- 450GeV/c の陽子ビームの場合
>  &math2(E_{CM}  = 29.1 [{\mathrm G}{\mathrm e}{\mathrm V}/c]);

- 核子辺り 200GeV/c の硫黄ビームの場合
>  &math2(E_{CM}  = 19.4 [{\mathrm G}{\mathrm e}{\mathrm V}/c]);

- 核子辺り 158GeV/c の鉛ビームの場合
>  &math2(E_{CM}  = 17.3 [{\mathrm G}{\mathrm e}{\mathrm V}/c]);

となる。

**** 例2: 光子と核子の反応 [#s44128a9]

NKS2 実験では、0.800 GeV から 1.100 GeV までの光子ビームを用いて、光-核子反応の実験を行っている。

この場合、

> &math2(E_{CM} = \sqrt{ {m_{N}}^{2} + 2 m_{N} |{\bm p}_{beam}| });

光子ビームが 0.800 GeV の場合、

>  &math2(E_{CM} = 1.54 [{\mathrm G}{\mathrm e}{\mathrm V}/c]);

光子ビームが 1.100 GeV の場合、

>  &math2(E_{CM} = 1.72 [{\mathrm G}{\mathrm e}{\mathrm V}/c]);

**** 例3: Invariant mass [#q38774e9]




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